Question

2．用定积分的几何意义说明下列等式：
（1）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ；
（2）${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0．

Answer 1

分析 （1）根据余弦函数的对性得出${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的几何意义是 余弦函数图象与直线x=$\frac{π}{2}$，x=$-\frac{π}{2}$，x轴，围成图形的面积，${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的几何意义是 余弦函数图象与直线x=$\frac{π}{2}$，x=0，x轴，围成的图形的面积，可以得出积分的关系．
（2）根据正弦函数成中心对称，∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx的几何意义是 正弦函数图象与直线x=π，x=0，x轴，围成的图形的面积，∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx的几何意义是 正弦函数图象与直线x=-π，x=0，x轴，围成的图形的面积的相反数，可以解释${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0的几何意义．

解答 解：（1）${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的几何意义是 余弦函数图象与直线x=$\frac{π}{2}$，x=$-\frac{π}{2}$，x轴，围成图形的面积，
${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ的几何意义是 余弦函数图象与直线x=$\frac{π}{2}$，x=0，x轴，围成的图形的面积，
根据函数的对称性得出，这两个面积成2倍关系，
∴${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ=2${∫}_{0}^{\frac{π}{2}}$cosθdθ成立．
（2）${∫}_{π}^{π}$sinxdx=0．=0．
∵∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx的几何意义是 正弦函数图象与直线x=π，x=0，x轴，围成的图形的面积，
∵∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx的几何意义是 正弦函数图象与直线x=-π，x=0，x轴，围成的图形的面积的相反数，
∴${∫}_{π}^{π}$sinxdx=∫${\;}_{-π}^{0}$sinxdx+∫${\;}_{0}^{π}$sinxdx=0

点评 本小题主要考查定积分、定积分的几何意义，三角函数的图象和性质，等基础知识，考查考查数形结合思想．属于基础题．