Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是底ABCD对角线的交点．
求证：
（1）A₁C⊥B₁D₁
（2）C₁O∥面AB₁D₁．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）可由正方形的性质得到A₁C₁⊥B₁D₁，再由线面垂直的性质得到A₁A⊥B₁D₁，由线面垂直的判定定理得到B₁D₁⊥平面A₁ACC₁，再由性质即可得证；
（2）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁，证得四边形OCC₁O₁是平行四边形，即AO₁∥OC₁，再由线面平行的判定定理，即可得证．

解答： 证明：（1）由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，所以A₁C₁⊥B₁D₁，
又A₁A⊥平面A₁B₁C₁D₁，所以A₁A⊥B₁D₁
又AA₁∩A₁C₁=A₁，
由线面垂直的判定定理，有B₁D₁⊥平面A₁ACC₁，
而A₁C?平面A₁ACC₁，
所以A₁C⊥B₁D₁；
（2）连接A₁C₁交B₁D₁于O₁，连接AO₁，
由ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，所以AC∥A₁C₁，且O₁C₁=AO=

1

2

AC，
即四边形OCC₁O₁是平行四边形，
所以AO₁∥OC₁，
又AO₁?平面AB₁D₁，OC₁?平面AB₁D₁，
则C₁O∥面AB₁D₁．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系：平行和垂直．考查线面平行和垂直的判定和性质定理的运用，考查空间想象能力，属于中档题．