Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA=AB=4，∠CDA=120°，点N在线段PB上，且PN= ．
（Ⅰ）求证：BD⊥PC；
（Ⅱ）求证：MN∥平面PDC；
（Ⅲ）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】证明：（I）∵△ABC是正三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC．
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
∴BD⊥PC．
（Ⅱ）在正△ABC中，BM=2 ．
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD=CD．
∠ADC=120°，∴ ，
∴ ．
在等腰直角△PAB中，PA=AB=4，PB=4 ，
∴ ，
∴ ，
∴MN∥PD．
又MN平面PDC，PD平面PDC，
∴MN∥平面PDC．
（Ⅲ）∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°，
∴AB⊥AD，分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，
∴B（4，0，0），C ， ，P（0，0，4）．
由（Ⅱ）可知， 为平面PAC的法向量．
， ．
设平面PBC的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令z=3，得x=3， ，则平面PBC的一个法向量为 ，
设二面角A﹣PC﹣B的大小为θ，则 ．
所以二面角A﹣PC﹣B余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由正三角形的性质可得BD⊥AC，利用线面垂直的性质可知PA⊥BD，再利用线面垂直的判定定理即可证明BD⊥PC；（Ⅱ）利用已知条件分别求出BM、MD、PB，得到 ，即可得到MN∥PD，再利用线面平行的判定定理即可证明；（Ⅲ）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角的平面角．