Question

已知抛物线C:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线C上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为.

（1）求抛物线C的方程；

（2）求证：直线相交于同一点.

 

Answer 1

（1）；（2）见解析

【解析】

试题分析：（1）将抛物线C的方程与直线联立化为关于的一元二次方程，由直线与抛物线C相切知，上述一元二次方程的判别式等于0，列出关于的方程，解出值，即可求出抛物线C的方程，注意根据的范围，对的值要取舍；（2）设出P点坐标，利用导数求出抛物线C在点P的切线m的方程，将直线m的方程与直线的方程联立，求出交点坐标，利用直线n与直线PF垂直，用p点坐标把直线n的斜率表示出来，求出直线n的方程，将上述交点坐标代入直线n的方程，满足即证明三线共点.

试题解析：（1）联立消去得

因为抛物线C与直线相切，所以 3分

解得（舍）或 4分

所以抛物线的方程为 5分

（2）证明：由得，求导有 6分

设，依题其中，则处的切线方程为：

切线方程 8分

与直线联立得：，即直线相交于 9分

直线的斜率为

因为与直线垂直，所以 11分

因为过点，所以的方程为 12分

与直线联立得：，即直线也相交于 13分

故直线相交于于同一点. 14分

考点: 直线与抛物线的位置关系；平面两直线的位置关系；曲线的切线；运算求解能力