Question

已知正方体ABCD－中，面对角线A、B上分别有两点E、F且E＝F求证：EF∥平面AC．

Answer 1

答案：
解析：

证法1：过E、F分别做AB、BC的垂线EM、FN交AB、BC于M、N，连接MN 　　∵B⊥平面AC　∴B⊥AB，B⊥BC 　　∴EM⊥AB，FN⊥BC 　　∴EM∥FN，∵A＝B，E＝F 　　∴AE＝BF又∠AB＝∠BC＝45° 　　∴RtΔAME≌RtΔBNF 　　∴EM＝FN 　　∴四边形MNFE是平行四边形 　　∴EF∥MN又MN平面AC 　　∴EF∥平面AC 　　证法2：过E作EG∥AB交B于G，连GF 　　∴＝ 　　∵E＝F，A＝B 　　∴＝　∴FG∥∥BC 　　又∵EG∩FG＝G，AB∩BC＝B 　　∴平面EFG∥平面AC 　　又EF平面EFG 　　∴EF∥平面AC 　　解析：如图，欲证EF∥平面AC，可证与平面AC内的一条直线平行，也可以证明EF所在平面与平面AC平行．