Question

已知点A（-3，5），B（2，15）直线l：3x-4y+4=0．
（1）在l上求一点P，使|PA|+|PB|的值最小；
（2）在l上求一点Q，使|AQ|-|QB|的值最大．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：（1）由题意先作出点A关于直线l的对称点A′，然后连接A′B，则直线A′B与l的交点P为所求；
（2）连接AB，则AB与直线l的交点即为所求Q．

解答： 解：（1）由题意知，点A、B在直线l的同一侧．
由平面几何的知识可知，先作出点A关于直线l的对称点A′，
然后连接A′B，则直线A′B与l的交点P为所求．
设A′（x，y），则

y-5

x+3

•

3

4

=-1且3•

x-3

2

-4

y+5

2

+4=0，
解得x=3，y=-3，∴A′（3，-3），
∴直线A′B的方程为18x+y-51=0．
由

3x-4y+4=0 18x+y-51=0

解得x=

8

3

且y=3，
∴P（

8

3

，3）即为所求；
（2）连接AB，则AB与直线l的交点即为所求Q，
易得直线AB的方程为y=2x+11，
联立

y=2x+11 3x-4y+4=0

可解得

x=-8 y=-5

∴Q（-8，-5）即为所求．

点评：本题考查直线的对称性，设方程组的解法和直线的平行垂直关系，属中档题．