Question

5．已知数列{a_n}的各项都是正数，它的前n项和为S_n，满足2S_n=a_n²+a_n，记b_n=（-1）ⁿ$\frac{{2{a_n}+1}}{{{a_n}^2+{a_n}}}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）求数列{b_n}的前2016项的和．

Answer 1

分析 （1）利用通项与前n项和的关系，求出数列的递推关系式，然后判断数列是等差数列，求出通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法1就数列的和即可．

解答 解：（1）∵$2{S_n}=a_n^2+{a_n}$
∴$2{S_{n+1}}=a_{n+1}^2+{a_{n+1}}$…..（2分）
∴$2{S_{n+1}}-2{S_n}=（a_{n+1}^2+{a_{n+1}}）-（a_n^2+{a_n}）$…．（3分）
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-1）=0
∵a_n＞0∴a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n=1…..（4分）
令n=1，则$2{S_1}=a_1^2+{a_1}$∴a₁=1或a₁=0
∵a_n＞0∴a₁=1…（5分）
∴数列{a_n}是以1为首项，以为公差1的等差数列
∴a_n=a₁+（n-1）d=n，n∈N^*…（6分）
（2）由（1）知：${b_n}={（-1）^n}\frac{{2{a_n}+1}}{{a_n^2+{a_n}}}={（-1）^n}（\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}）$…（8分）
∴数列{b_n}的前2016项的和为T_n=b₁+b₂+…+b₂₀₁₆
=$-（1+\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}）-（\frac{1}{3}+\frac{1}{4}）+…-（\frac{1}{2015}+\frac{1}{2016}）+（\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}）$
=$-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…-\frac{1}{2015}-\frac{1}{2016}+\frac{1}{2016}+\frac{1}{2017}$…（10分）
=$-1+\frac{1}{2017}$=$-\frac{2016}{2017}$…（12分）

点评 本题考查数列的递推关系式以及数列求和，通项公式的求法，考查计算能力．