Question

20．已知在等比数列{a_n}中，a_n+1＞a_n对n∈N^*恒成立，且a₁a₄=8，a₂+a₃=6．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足，$\frac{a_1}{b_1}+\frac{{3{a_2}}}{b_2}+…+\frac{{（{2n-1}）{a_n}}}{b_n}=n，（{n∈{N^*}}）$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，由a₁a₄=8，a₂+a₃=6．可得${a}_{1}^{2}{q}^{3}$=8，a₁（q+q²）=6，且a_n+1＞a_n对n∈N^*恒成立，解得q，a₁．即可得出a_n．
（2）$\frac{a_1}{b_1}+\frac{{3{a_2}}}{b_2}+…+\frac{{（{2n-1}）{a_n}}}{b_n}=n，（{n∈{N^*}}）$，n≥2时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{3{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{（2n-3）{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=n-1，相减可得：$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1，可得b_n．n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=1，解得b₁．再利用错位相减法即可得出．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，∵a₁a₄=8，a₂+a₃=6．∴${a}_{1}^{2}{q}^{3}$=8，a₁（q+q²）=6，且a_n+1＞a_n对n∈N^*恒成立，
解得q=2，a₁=1．
∴a_n=2^n-1．
（2）∵$\frac{a_1}{b_1}+\frac{{3{a_2}}}{b_2}+…+\frac{{（{2n-1}）{a_n}}}{b_n}=n，（{n∈{N^*}}）$，
∴$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{3{a}_{2}}{{b}_{2}}$+…+$\frac{（2n-3）{a}_{n-1}}{{b}_{n-1}}$=n-1，
相减可得：$\frac{（2n-1）{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1，可得b_n=（2n-1）•2^n-1．
n=1时，$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$=1，解得b₁=1．上式对于n=1时也成立．
∴b_n=（2n-1）•2^n-1．
∴数列{b_n}的前n项和S_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）•2^n-1．
∴2S_n=2+3×2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ，
∴-S_n=1+2×（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ=1+2×$\frac{2（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ，
∴S_n=（2n-3）•2ⁿ+3．

点评 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．