Question

15．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）求f（x）的单调增区间；
（Ⅲ）求f（x）在[0，π]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，再根据正弦函数的周期性、最值，求得f（x）的最小正周期和最大值．
（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得f（x）的单调增区间．
（Ⅲ）利用正弦函数的最值求得f（x）在[0，π]上的最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=$\sqrt{3}$sinx-cosx=2sin（x-$\frac{π}{6}$），
故它的最小正周期为T=$\frac{2π}{1}$=2π，它的最大值为2．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得2kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤2kπ+$\frac{2π}{3}$，
可得函数的增区间为[2kπ-$\frac{π}{3}$，2kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
（Ⅲ）在[0，π]上，x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，故函数的最小值为2•（-$\frac{1}{2}$）=-1．

点评 本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的周期性、单调性、最值，属于基础题．