Question

7．△PF₁F₂的一个顶点P（7，12）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，另外两顶点F₁、F₂为该双曲线的左、右焦点，则△PF₁F₂的内心横坐标为1．

Answer 1

分析 通过已知条件求出b，充分利用平面几何图形的性质解题．因从同一点出发的切线长相等，得PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，再结合双曲线的定义得|F₁D|-|F₂D|=2a，从而即可求得△PF₁F₂的内心的横坐标．

解答 解：P（7，12）在双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上，
所以$\frac{49}{{a}^{2}}-\frac{144}{3}=1$，a²=1，
双曲线方法为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
记△PF₁F₂的内切圆圆心为C，边PF₁、PF₂、F₁F₂上的切点分别为M、N、D，易见C、D横坐标相等，
|PM|=|PN|，|F₁M|=|F₁D|，|F₂N|=|F₂D|，由|PF₁|-|PF₂|=2，
即：|PM|+|MF₁|-（|PN|+|NF₂|）=2，得|MF₁|-|NF₂|=2即|F₁D|-|F₂D|=2，
记C的横坐标为x₀，则D（x₀，0），
于是：x₀+c-（c-x₀）=2，
得x₀=1，
故答案为：1．

点评 本题主要考查了双曲线的定义、双曲线的应用及转化问题的能力，属于中档题．