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    设斜率为k1的直线l1与椭圆
    x2
    2
    +y2=1交于不同的A、B两点，直线y=k2x与直线l1的交点为M，（k1≠k2，且k1≠0）．
    （Ⅰ）若点M为弦AB的中点，求k1k2的值；
    （Ⅱ）把题设中的椭圆一般化为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0，a≠b），其他条件不变
    （i）根据（Ⅰ）的运算结果，写出一个关于k1k2的一般性结论，并判断与证明它的逆命题是否为真命题；
    （ii）根据以上探究，在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）中写出类似结论．
    考点：直线与圆锥曲线的综合问题
    专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
    分析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法能证明k1k2=-
    1
    2
    ．
    （2）（i）由已知条件推导出k1k2=-
    b2
    a2
    ，写出逆命题，由斜率为k1的直线l1与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    联立方程组，由此利用韦达定理结合中点坐标公式能证明点M为弦AB的中点．
    （ii）由以结论，合理地归纳总结，寻找规律，在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1（a＞0，b＞0）中能写出类似结论．
    解答： 解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），
    因为点M为弦AB的中点，则M（
    x1+x2
    2
    ，
    y1+y2
    2
    ），
    且有
    x12
    2
    +y12=1    ，
    x22
    2
    +y22=1    ，
    两式相减得：
    (y1-y2)(y1+y2)
    (x1-x2)(x1+x2)
    =-
    1
    2
    ，即k1k2=-
    1
    2
    ．
    （2）（i）斜率为k1的直线l1与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    交于不同的A、B两点，
    直线y=k2x与直线l1的交点为M，（k1≠k2，且k1≠0），
    若点M为弦AB的中点，则k1k2=-
    b2
    a2
    ，
    逆命题：斜率为k1的直线l1与椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    交于不同的A、B两点，
    直线y=k2x与直线l1的交点为M，（k1≠k2，且k1≠0），
    若k1k2=-
    b2
    a2
    ，则点M为弦AB的中点．
    证明如下：设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
    联立方程
    y=kx+m
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1
    ，得（b2+a2k12）x2+2a2k1mx+a2m2-a2b2=0，
    △=4a4k12m2-4(b2+a2k12)(a2m2-a2b2)＞0，
    x1+x2=
    -2a2k1m
    b2+a2k12
    ，
    y1+y2=k1(x1+x2)+2m=
    2mb2
    b2+a2k12
    ，
    ∴弦AB的中点坐标为（
    -a2k1m
    b2+a2k12
    ，
    mb2
    b2+a2k12
    ），
    将x=
    -a2k1m
    b2+a2k12
    代入直线l2：y=k2x，
    得y=
    -a2k1k2m
    b2+a2k12
    ，又k1k2=-
    b2
    a2
    ，
    ∴y=
    mb2
    b2+a2k12
    ，
    即点M为弦AB的中点．
    （ii）斜率为k1的直线l1与双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    交于不同的A、B两点，
    直线y=k2x与直线l1的交点为M，（k1≠k2，且k1≠0），
    点M为弦AB的中点的充要条件为k1k2=
    b2
    a2
    ．
    点评：本题考查两直线的斜率的乘积的求法，考查椭圆和双曲线中类似结论的总结与证明，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．
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    1
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    a
    ∥
    b
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    a
    •
    b
    ；
    （Ⅱ）若
    a
    -
    b
    与
    c
    垂直，求当k为何值时，（k
    a
    -
    b
    ）⊥（
    a
    +2
    b
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    1
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    1
    2
    ．
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    OR
    •
    OT
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