Question

已知等差数列{a_n}不是常数列，a₁+a₂=4，a₂、a₅、a₁₄成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）设b_n=

1

anan+1

，S_n是数列{b_n}的前n项，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列和等比数列的通项公式，建立方程关系即可求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）求出数列{b_n}的通项公式，利用裂项法即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差是d，
因数列不是常数列，则d≠0，
∵a₂、a₅、a₁₄等比，∴

a

2 5

=a2a14，
又a₁+a₂=4，
∴

2a1+d=4 (a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d)

，
解这个方程组，得

a1=1 d=2

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1，
即的通项公式为a_n=2n-1．
（Ⅱ）∵a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

，
∴bn=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

(

1

1

-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+…+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

点评：本题主要考查数列的通项公式和数列求和，要求熟练掌握裂项法求和，考查学生的运算能力．