Question

函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（1）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀=∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式化简，根据题意求得函数的周期，利用周期公式求得ω，最后利用三角函数的图象与性质求得函数的单调增区间．
（2）根据题意求得sin（

π

4

x₀+

π

3

），利用平方关系求得cos（

π

4

x₀+

π

3

），最后利用两角和公式求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=3cosωx+

3

sinωx=2

3

（

3

2

cosωx+

1

2

sinωx）=2

3

sin（ωx+

π

3

），
依题意知

T

2

=

2 3

3

×2=4，
∴T=

2π

ω

=8，
∴ω=

π

4

，
∴f（x）=2

3

sin（

π

4

x+

π

3

），
由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
得-

10

3

+8k≤x≤

2

3

+8k，k∈Z，
故函数的单调增区间为[-

10

3

+8k，

2

3

+8k]（k∈Z）．
（2）f（x₀）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

8 3

5

，
∴sin（

π

4

x₀+

π

3

）=

4

5

，
∵x₀=∈（-

10

3

，

2

3

），
∴

π

4

x₀+

π

3

∈[-

π

2

，

π

2

]，
∴cos（

π

4

x₀+

π

3

）=

1- 16 25

=

3

5

，
∴f（x₀+1）=2

3

sin（

π

4

x₀+

π

4

+

π

3

）=2

3

[sin（

π

4

x₀+

π

3

）cos

π

4

+cos（

π

4

x₀+

π

3

）sin

π

4

]=2

3

[

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

]=

7 6

5

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考查了学生三角函数基础知识的运用和一定的运算能力．