Question

4．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点，连接OC，OA₁，得出OC⊥AB，OA₁⊥AB，运用AB⊥平面OCA₁，即可证明．
（Ⅱ）易证OA，OA₁，OC两两垂直．以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向建立坐标系，可向量的坐标，求出平面BB₁C₁C的法向量，代入向量夹角公式，可得答案．

解答 （Ⅰ）证明：取AB中点，连接OC，OA₁，
∵CA=CB，AB=A₁A，∠BAA₁=60°
∴OC⊥AB，OA₁⊥AB，
∵OC∩OA₁=O，
∴AB⊥平面OCA₁，
∵CA₁?平面OCA₁，
∴AB⊥A₁C；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交线为AB，
所以OC⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC两两垂直．
以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}$的方向为x轴的正向，建立如图所示的坐标系，
可得A（1，0，0），A₁（0，$\sqrt{3}$，0），C（0，0，$\sqrt{3}$），B（-1，0，0），
则$\overrightarrow{BC}$=（1，0，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=$\overrightarrow{A{A}_{1}}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（0，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$），
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面BB₁C₁C的法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}{x+\sqrt{3}z=0}\\{-x+\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，
可取y=1，可得 $\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），故cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{{A}_{1}C}$＞=-$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，
故直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值为：$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属中档题．