Question

9．已知函数f（x）=lnx-$\frac{x-b}{x}$，其中b为常数，且b＞0．
（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若函数f（x）在[1，3]上的最小值为$\frac{1}{3}$，求实数b的值．

Answer 1

分析 （1）利用导数与斜率之间的关系，知f'（1）=-1求出b值，利用导数判断函数的单调区间即可；
（2）分类讨论b的取值范围，从而判断f（x）的在[1，3]上的单调性，利用单调性求函数最值；

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{x-（x-b）}{{x}^{2}}$=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$  （x＞0）
因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x-y+1=0垂直，
所以f'（1）=-1，即1-b=-1，解得b=2；
令f'（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$＜0，结合x＞0得0＜x＜2．
所以函数f（x）的单调递减区间为（0，2）．
（2）由f'（x）=$\frac{x-b}{{x}^{2}}$（x＞0）可知，当0＜b≤1时，f'（x）＞0在[1，3]上恒成立，
此时f（x）在[1，3]上为增函数．∴f（x）_min=f（1）=b-1．
令b-1=$\frac{1}{3}$，解得b=$\frac{4}{3}$，∵$\frac{4}{3}$＞1，∴舍去．
当1＜b＜3时，由f'（x）=0得x=b∈（1，3）
当x∈（1，b）时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，b]上为减函数；
当x∈（b，3）时，f'（x）＞0，∴f（x）在[b，3]上为增函数，
∴f（x）_min=f（b）=lnb；
令lnb=$\frac{1}{3}$，得b=${e}^{\frac{1}{3}}$；
当b≥3时，f'（x）＜0在（1，3）恒成立，此时f（x）在[1，3]上为减函数．
∴f（x）_min=f（3）=ln3+$\frac{b}{3}$-1
令ln3+$\frac{b}{3}$-1=$\frac{1}{3}$，得b=4-3ln3＜2，故舍去；
综上：b=${e}^{\frac{1}{3}}$；

点评 本题主要考查了导数与斜率关系，直线垂直关系以及利用导数研究函数的单调性与最值问题，属中等题．