【题目】已知直线 与椭圆
有且只有一个公共点
.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)若直线 交C于A,B两点,且PA⊥PB,求b的值.
【答案】(1) ;(2)
【解析】试题分析:(I)联立直线与椭圆方程,消去,可得的
方程,运用判别式为0,再将
的坐标代入椭圆方程,解方程可得
,进而得到椭圆方程;
(II)设联立直线
和椭圆方程,消去
,可得的
方程,运用判别式大于0,韦达定理,再由
在直线上,代入直线方程,由垂直的条件,运用向量的数量积为0,化简整理,解方程可得
的值.
试题解析:
(I)联立直线l:y=﹣x+3与椭圆C:mx2+ny2=1(n>m>0),
可得(m+n)x2﹣6nx+9n﹣1=0,
由题意可得△=36n2﹣4(m+n)(9n﹣1)=0,即为9mn=m+n,
又P在椭圆上,可得4m+n=1,
解方程可得m=,n=
,
即有椭圆方程为+
=1;
(II)设A(x1,y1),B(x2,y2),
联立直线y=b﹣x和椭圆方程,可得3x2﹣4bx+2b2﹣6=0,
判别式△=16b2﹣12(2b2﹣6)>0,
x1+x2=,x1x2=
,
y1+y2=2b﹣(x1+x2)=,y1y2=(b﹣x1)(b﹣x2)=b2﹣b(x1+x2)+x1x2=
,
由PA⊥PB,即为?
=(x1﹣2)(x2﹣2)+(y1﹣1)(y2﹣1)
=x1x2﹣2(x1+x2)+4+y1y2﹣(y1+y2)+1
=﹣2?
+
﹣
+5=0,
解得b=3或,代入判别式,b=3不成立.
则b=.
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【题目】已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(x)在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围;
(3)在区间[﹣1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围.
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【题目】定义在R上的奇函数f(x),当x∈(﹣∞,0)时,f(x)=﹣x2+mx﹣1.
(1)当x∈(0,+∞)时,求f(x)的解析式;
(2)若方程f(x)=0有五个不相等的实数解,求实数m的取值范围.
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【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=(2n+1)an+2n+1,数列{bn}的前n项和为Tn.求满足不等式>2010的n的最小值.
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【题目】孝感星河天街购物广场某营销部门随机抽查了100名市民在2017年国庆长假期间购物广场的消费金额,所得数据如表,已知消费金额不超过3千元与超过3千元的人数比恰为3:2.
(1)试确定,
,
,
的值,并补全频率分布直方图(如图);
(2)用分层抽样的方法从消费金额在和
的两个群体中抽取5人进行问卷调查,则各小组应抽取几人?若从这5人中随机选取2人,则此2人来自同一群体的概率是多少?
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【题目】已知全集U=R,集合A={x|1<x≤8},B={x|2<x<9},C={x|x≥a}.
(1)求A∩B,A∪B;
(2)如果A∩C≠,求a的取值范围.
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【题目】已知函数g(x)=x+ ﹣2.
(1)证明:函数g(x)在[ ,+∞)上是增函数;
(2)若不等式g(2x)﹣k2x≥0在x∈[﹣1,1]上有解,求实数k的取值范围.
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