Question

【题目】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）=f（2）=3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；
（3）在区间[﹣1，1]上，y=f（x）的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知∵f（x）是二次函数，且f（0）=f（2）

∴对称轴为x=1

又最小值为1

设f（x）=a（x﹣1）2+1

又f（0）=3

∴a=2

∴f（x）=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3

（2）解：要使f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，则2a＜1＜a+1

∴

（3）解：由已知2x2﹣4x+3＞2x+2m+1在[﹣1，1]上恒成立

化简得m＜x2﹣3x+1

设g（x）=x2﹣3x+1

则g（x）在区间[﹣1，1]上单调递减

∴g（x）在区间[﹣1，1]上的最小值为g（1）=﹣1

∴m＜﹣1

【解析】（1）用待定系数法先设函数f（x）的解析式，再由已知条件求解未知量即可（2）只需保证对称轴落在区间内部即可（3）转化为函数求最值问题，即可得到个关于变量m的不等式，解不等式即可
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．