Question

【题目】设抛物线C:的焦点为F，抛物线上的点A到轴的距离等于.

（1）求抛物线C的方程；

（2）已知经过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，证明： 为定值．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）利用抛物线的性质和已知条件求出抛物线方程，进一步求得p值；

（2）分斜率存在与不存在两种情况，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据韦达定理可求得x1x2的值，又根据抛物线定义可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1代入可得其值．

（1）由题意可得，抛物线上点到焦点的距离等于点到直线的距离，由抛物线的定义得，即.故抛物线的方程为；

（2）易知焦点的坐标为，

若直线的斜率不存在，即直线方程为：，此时，

，

若直线的斜率存在，设直线方程为：，设，

由抛物线的定义可知：，

由得：，

由韦达定理得：，所以：

，

综上可得：为定值.