【题目】设.
(1) 求函数的单调区间;
(2) 若证明:
(3)若函数有两个零点
,且
,求实数
的取值范围;
【答案】(1)当时,函数
的单调递增区间是
;当
时,函数
的递减区间是
,单调递增区间是
;
(2)见解析
(3)
【解析】
(1)求出函数的导数,分类解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;
(2)分析出函数在
单调递减,在
单调递增,得到
即可;
(3)由题意知有两个根,构造
分析
,得到
,解出a的范围即可.
(1)首先,函数定义域为,因
,则当
时,
,
函数在
上单调递增;
当,且
时,
,函数
的
上单调递减;
时,
,函数
在
上单调递增,故当
时,函数
的单调递增区间是
;当
时,函数
的递减区间是
,单调递增区间是
;
(2)若,则
,
当时,
时,
,
所以:函数在
单调递减,在
单调递增,故:
;
(3)由题设有两个零点,显然
,故
,记
,
当时,
单调增;当
时,
单调减.所以当
,即
时,函数
有两个零点
,所求实数
的取值范围是
.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. “f(0)”是“函数f(x)是奇函数”的充要条件
B. 若p:,
,则
:
,
C. “若,则
”的否命题是“若
,则
”
D. 若为假命题,则p,q均为假命题
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【题目】设抛物线C:的焦点为F,抛物线上的点A到
轴的距离等于
.
(1)求抛物线C的方程;
(2)已知经过抛物线C的焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,证明:
为定值.
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【题目】十一黄金小长假期间,某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满。当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲。宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用(人工费,消耗费用等等)。受市场调控,每个房间每天的房价不得高于340元。设每个房间的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y,直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2) 设宾馆一天的利润为w元,求w与x的函数关系式;
(3) 一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?
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【题目】已知椭圆:
的左右焦点分别为
,
,左顶点为
,点
在椭圆
上,且
的面积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且与
轴不重合的直线交椭圆
于
,
两点,直线
分别与
轴交于点
,
,.求证:以
为直径的圆恒过交点
,
,并求出
面积的取值范围.
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【题目】已知直线是抛物线
的准线,直线
,且
与抛物线
没有公共点,动点
在抛物线
上,点
到直线
和
的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线
上运动,过点
做抛物线
的两条切线,切点分别为
,在平面内是否存在定点
,使得
恒成立?若存在,请求出定点
的坐标,若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数,
.
(1)若,且直线
是曲线
的一条切线,求实数
的值;
(2)若不等式对任意
恒成立,求
的取值范围;
(3)若函数有两个极值点
,
,且
,求
的取值范围.
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