Question

10．已知f（x）=2x²-（2a-1）x-1；
（1）若a＜1，判断f（x）在区间（$\frac{1}{4}$，+∞）的单调性并用定义证明；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上不是单调函数，用集合表示实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）=2x²-（2a-1）x-1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{2a-1}{4}$为对称轴的抛物线，若a＜1，则$\frac{2a-1}{4}$＜$\frac{1}{4}$，则f（x）在区间（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递增，利用定义法，可得结论；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上不是单调函数，则-1＜$\frac{2a-1}{4}$＜2，解得实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=2x²-（2a-1）x-1的图象是开口朝上，且以直线x=$\frac{2a-1}{4}$为对称轴的抛物线，
若a＜1，则$\frac{2a-1}{4}$＜$\frac{1}{4}$，则f（x）在区间（$\frac{1}{4}$，+∞）上单调递增，理由如下：
任取$\frac{1}{4}$＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＞$\frac{1}{2}$，2a-1-2（x₁+x₂）＜0，
则f（x₂）-f（x₁）=[2x₂²-（2a-1）x₂-1]-[2x₁²-（2a-1）x₁-1]=（x₁-x₂）[2a-1-2（x₁+x₂）]＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在区间（$\frac{1}{4}$，+∞）上为单调递增函数；
（2）若f（x）在区间[-1，2]上不是单调函数，
则-1＜$\frac{2a-1}{4}$＜2，
解得：$-\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{2}$，
故实数a的取值范围为{a|$-\frac{3}{2}$＜a＜$\frac{9}{2}$}

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．