Question

2．函数f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$（0＜ω＜2）的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
（1）求函数f（x）解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，f（$\frac{A}{2}$）=1，b=1，S_△=$\sqrt{3}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）变形可得f（x）=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），由对称性和题意可得ω=1，可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），解不等式2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单调递增区间；
（2）由（1）和题意可得A=$\frac{π}{3}$，再由面积公式可得c值，然后由余弦定理可得a值．

解答 解：（1）∵f（x）=cos²ωx+$\sqrt{3}$sinωxcosωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx+$\frac{1}{2}$cos2ωx
=sin（2ωx+$\frac{π}{6}$），
f（x）的一条对称轴为x=$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
结合0＜ω＜2可得ω=1
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
∴函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）∵在△ABC中f（$\frac{A}{2}$）=sin（A+$\frac{π}{6}$）=1，∴A=$\frac{π}{3}$，
又b=1，S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$c=$\sqrt{3}$，∴c=4，
由余弦定理可得a²=1+16-2×1×4×$\frac{1}{2}$=13，∴a=$\sqrt{13}$

点评 本题考查解三角形，涉及余弦定理和三角函数的性质和三角形的面积公式，属中档题．