Question

14．已知0≤x≤2，试求函数y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1的值域．

Answer 1

分析 求出（$\frac{1}{2}$）^x的范围．利用换元法，通过二次函数的性质求解值域．

解答 解：0≤x≤2，（$\frac{1}{2}$）^x∈[$\frac{1}{4}$，1]，
令（$\frac{1}{2}$）^x=t，函数化为：y=t²-t+1，t∈[$\frac{1}{4}$，1]，
二次函数y=t²-t+1的对称轴为：t=$\frac{1}{2}$，开口向上，
t=$\frac{1}{2}$时，函数取得最小值：$\frac{3}{4}$；t=1时，好取得最大值为1．
函数y=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x+1的值域：[$\frac{3}{4}，1$]．

点评 本题画出换元法以及二次函数的性质，闭区间上的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．