Question

19．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$
（1）求角C的大小；
（2）若B+C=$\frac{7π}{12}$，b=$\sqrt{6}$，求c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，可得sinC=$\sqrt{3}$cosC，即tanC=$\sqrt{3}$，解出即可．
（2）由C=$\frac{π}{3}$，又B+C=$\frac{7π}{12}$，可得B=$\frac{π}{4}$．由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，解出即可．

解答 解：（1）由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，又$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{\sqrt{3}cosC}$，∴sinC=$\sqrt{3}$cosC，∴tanC=$\sqrt{3}$，∵C∈（0，π），∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）∵C=$\frac{π}{3}$，又B+C=$\frac{7π}{12}$，∴B=$\frac{π}{4}$．
由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$，
∴$c=\frac{bsinC}{sinB}$=$\frac{\sqrt{6}sin\frac{π}{3}}{sin\frac{π}{4}}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．