Question

11．已知函数f（x）=ax²-2x+3，x∈（0，3]．
（1）当a=1时，求函数f（x）的值域；
（2）若集合A={x|f（x）=0，0＜x≤3}≠∅，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的解析式，确定函数的对称轴和图象的开口方向，运用二次函数的性质，即可求得函数f（x）的值域．
（2）分类讨论，利用方程根的讨论方法，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）∵当a=1时，函数f（x）=x²-2x+3，
∴f（x）=（x-1）²+2，
对称轴为x=1，图象是开口向上的抛物线，
∵离对称轴越近，其对应的函数值越小，
又∵x∈[0，3]，
∴当x=1时，f（x）取得最小值为2，当x=3时，f（x）取得最大值为6，
∴f（x）的值域为[2，6]；
（2）a＜0，则f（3）≤0，∴9a-6+3≤0，∴a≤$\frac{1}{3}$，∴a＜0；
a=0，-2x+3=0，可得x=1.5，满足题意；
a＞0，△=4-12a=0，可得a=$\frac{1}{3}$，x=3，满足题意；
△＞0，可得a＜$\frac{1}{3}$，则f（3）≥0且0＜$\frac{1}{a}$≤3，无解，
∴a≤0或a=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质以及求函数的值域问题．求函数的值域要注意考虑定义域的取值，再根据函数的解析式进行判断该使用何种方法求解值域．