Question

13．已知f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{x}^{2}}$是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上存在最大值，则a+b取值范围是（-∞，0）．

Answer 1

分析 利用f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{x}^{2}}$是奇函数，求出b，利用且f（x）在（0，+∞）上存在最大值，求出a的范围，即可求出a+b取值范围．

解答 解：由题意可知，其定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）．
∵f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$+$\frac{{b}^{2}}{{x}^{2}}$是奇函数，
∴f（x）+f（-x）=0．因此代入原函数，可得b=0．
∴f（x）=ax+$\frac{a-2}{x}$，
①a=0，f（x）=-$\frac{2}{x}$，在（0，+∞）上不存在最大值；
②a≠0，f（x）=a（x+$\frac{\frac{a-2}{a}}{x}$），
∵f（x）在（0，+∞）上存在最大值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{\frac{a-2}{a}＞0}\end{array}\right.$，∴a＜0，
综上a＜0，b=0，
∴a+b＜0．
故答案为：（-∞，0）．

点评 本题考查函数的性质，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．