Question

5．已知a＞b＞c，a+b+c=0，方程ax²+bx+c=0的两个实根为x₁，x₂．
（1）证明：-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜1；
（2）求|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|

Answer 1

分析 （1）由题意可得a＞0、c＜0，a＞b，且a+2b＞0，化简可得要证的结论成立．
（2）由题意可得x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，化简|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|=$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（-\frac{b}{a}）}^{2}-4•\frac{c}{a}}$•|-$\frac{b}{a}$|，可得结论．

解答 解：（1）证明：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞0、c＜0，∴a＞b，且a+2b＞0，
即$\frac{b}{a}$＜1，且$\frac{b}{a}$＞-$\frac{1}{2}$，故有-$\frac{1}{2}$＜$\frac{b}{a}$＜1 成立．
（2）由于方程ax²+bx+c=0的两个实根为x₁，x₂ 满足x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$，
故|x${\;}_{1}^{2}$-x${\;}_{2}^{2}$|=|x₁-x₂|•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（{{x}_{1}+x}_{2}）}^{2}-{4x}_{1}{•x}_{2}}$•|x₁+x₂|=$\sqrt{{（-\frac{b}{a}）}^{2}-4•\frac{c}{a}}$•|-$\frac{b}{a}$|
=|$\frac{b}{a}$|•$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\frac{|b|}{{a}^{2}}$•$\sqrt{{b}^{2}-4ac}$．

点评 本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．