Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{6}sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+\sqrt{2}{cos^2}\frac{x}{2}$
（1）将函数f（x）化简成Asin（ωx+φ）+B（A＞0，φ＞0，φ∈[0，2π））的形式；
（2）求f（x）的单调递减区间；
（3）求函数f（x）在[$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{6}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式即可得解f（x）=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，即可解得f（x）单调递减区间．
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，利用正弦函数的图象和性质可得$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$，从而得解．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{6}}}{2}sinx+\sqrt{2}（\frac{1+cosx}{2}）$=$\sqrt{2}（\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinx+\frac{1}{2}cosx）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{6}）+\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
（2）令$2kπ+\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
解得$2kπ+\frac{π}{3}≤x≤2kπ+\frac{4π}{3}$，
∴f（x）单调递减区间为$[{2kπ+\frac{π}{3}，2kπ+\frac{4π}{3}}]$，k∈Z．
（3）由$\frac{π}{4}≤x≤\frac{7π}{6}$得$\frac{5π}{12}≤x+\frac{π}{6}≤\frac{4π}{3}$，
∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（{x+\frac{π}{6}}）≤1$
故当x=$\frac{7π}{6}$时，f（x）有最小值$\frac{{\sqrt{2}-\sqrt{6}}}{2}$；当x=$\frac{π}{3}$时，f（x）有最大值$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，熟练掌握正弦函数的图象和性质是解题的关键，属于中档题．