Question

4．如图，已知矩形ABCD，BC⊥平面ABE，F为CE的中点．
（1）求证：直线AE∥平面BDF；
（2）若AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，求证：AE⊥平面BCE．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=G，连结FG，易知G是AC的中点，可证FG∥AE，从而可证AE∥平面BDF．
（2）由已知可得AE²+BE²=AB²，由勾股定理可得AE⊥BE，又BC⊥平面ABE，可得：BC⊥AE，BE∩∩BE=B，即可证明AE⊥平面BCE．

解答 证明：（1）设AC∩BD=G，连结FG，易知G是AC的中点，
因为 F是EC中点，所以 在△ACE中，FG∥AE．…（2分）
因为 AE?平面BDF，FG?平面BDF，
所以 AE∥平面BDF． …（6分）
（2）因为AE=BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
所以AE²+BE²=AB²，可得：AE⊥BE，
又因为BC⊥平面ABE，可得：BC⊥AE，又BE∩BE=B，
∴AE⊥平面BCE．

点评 本题主要考察了平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，连接GF，证明FG∥AE是解题的关键，属于中档题．