Question

15．已知函数f（x）=$\frac{t+sinx}{t+cosx}（{|t|＞1}）$的最大值和最小值分别是M，m，则M•m为1．

Answer 1

分析 首先，根据所给函数结构形式，得到动点A（cosθ，sinθ）与点B（-t，-t）的连线的斜率k，然后，借助于直线与圆的位置关系，确定M和m的值即可．

解答 解：由函数f（x）=$\frac{t+sinx}{t+cosx}（{|t|＞1}）$，
得：动点A（cosθ，sinθ）与点B（-t，-t）的连线的斜率k，
点A在单位圆上运动，点B则在直线y=x上，|x|＞1，且在单位圆外，
当直线AB与单位圆相切时，此时k取得最大值和最小值，
设AB：y+t=k（x+t），
即kx-y+（k-1）t=0，
它到原点的距离为1，
∴$\frac{|k-1||t|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
∴[（k-1）t]²=1+k²，
∴（t²-1）k²-2t²k+t²-1=0，
∴k=$\frac{{t}^{2}±\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
∴M=$\frac{{t}^{2}+\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
m=$\frac{{t}^{2}-\sqrt{2{t}^{2}-1}}{{t}^{2}-1}$，
∴M•m=1．
故答案为：1．

点评 本题重点考查了等价转化思想、斜率公式及其运用、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．