Question

20．已知函数f（x）=sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos²x
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）当x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]时，求f（x）的最值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数公式化简可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，由周期公式可得；
（2）由x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]和三角函数的值域可得．

解答 解：（1）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（π-x）sin（$\frac{π}{2}$-x）+cos²x
=sinxcosx+cos²x=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$（1+cos2x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π；
（2）当x∈[-$\frac{π}{8}$，$\frac{3π}{8}$]时，2x+$\frac{π}{4}$∈[0，π]，
∴sin（2x+$\frac{π}{4}$）∈[0，1]，
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$]，
∴f（x）的最小值为$\frac{1}{2}$，最大值为$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$

点评 本题考查三角函数的最值，涉及三角函数公式周期性，属基础题．