Question

10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量$\overrightarrow a=（2，1），A（1，0），B（cosθ，t）$，
（1）若$\overrightarrow a∥\overrightarrow{AB}$，且$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{5}|{\overrightarrow{OA}}|$，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐标．
（2）若$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow{AB}$，求$y={cos^2}θ-cosθ+{（\frac{t}{4}）^2}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知点的坐标求得$\overrightarrow{AB}$的坐标，结合$\overrightarrow a∥\overrightarrow{AB}$，且$|{\overrightarrow{AB}}|=\sqrt{5}|{\overrightarrow{OA}}|$列式求出t值，进一步求得cosθ，则向量$\overrightarrow{OB}$的坐标可求；
（2）由$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow{AB}$，把t用cosθ表示，代入$y={cos^2}θ-cosθ+{（\frac{t}{4}）^2}$后整理，利用配方法求得最小值．

解答 解：（1）由已知得$\overrightarrow{AB}$=（cosθ-1，t），又$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{AB}$，∴2t-cosθ+1=0，
∴cosθ-1=2t．①
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{5}|{\overrightarrow{OA}}|$，∴（cosθ-1）²+t²=5．②
由①②得，5t²=5，∴t²=1．即t=±1．
当t=1时，cosθ=3（舍去），
当t=-1时，cosθ=-1，
∴B（-1，-1），则$\overrightarrow{OB}$=（-1，-1）；
（2）由$\overrightarrow a$⊥$\overrightarrow{AB}$可知t=2-2cosθ，
∴y=cos²θ-cosθ+$\frac{{{{（cosθ-1）}^2}}}{4}$=$\frac{5}{4}co{s}^{2}θ-\frac{3}{2}cosθ+\frac{1}{4}$
=$\frac{5}{4}（cosθ-\frac{3}{5}）^{2}-\frac{1}{5}$，
∴当cos$θ=\frac{3}{5}$时，${y}_{min}=-\frac{1}{5}$．

点评 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查了三角函数的化简与求值，考查计算能力，是中档题．