Question

16．求函数y=$\frac{x}{2x-1}$的值域和单调区间．

Answer 1

分析 分离常数可得到，$y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2x-1）}$，从而看出$y≠\frac{1}{2}$，这样便得到了值域，可以看出该函数和y=$\frac{1}{2（2x-1）}$的单调区间相同，从而而根据反比例函数的单调性写出该函数的单调区间即可．

解答 解：$y=\frac{x}{2x-1}=\frac{\frac{1}{2}（2x-1）+\frac{1}{2}}{2x-1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2（2x-1）}$；
∵$\frac{1}{2（2x-1）}≠0$；
∴$y≠\frac{1}{2}$；
∴该函数的值域为{y|y$≠\frac{1}{2}$}；
根据反比例函数的单调性得，该函数在$（-∞，\frac{1}{2}）$，（$\frac{1}{2}，+∞$）上单调递减；
∴该函数的单调递减区间为（$-∞，\frac{1}{2}$），（$\frac{1}{2}，+∞$）．

点评 考查函数值域的概念，分离常数法求函数的值域，会求反比例函数的单调区间，能看出该函数和反比例函数$y=\frac{1}{2（2x-1）}$的单调区间相同，也可根据单调性定义求其单调区间．