Question

7．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$是奇函数，且f（1）=2，f（2）=$\frac{5}{2}$．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）当0＜x＜1时，用函数单调性的定义研究函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，容易得出c=0，而根据$f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$便可建立关于a，b的二元一次方程组，从而可以解得a=b=1，从而得出f（x）的表达式；
（2）先得到f（x）=x$+\frac{1}{x}$，根据单调性的定义，设任意的x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂，然后作差，是分式的通分，并且提取公因式x₁-x₂，这样便可判断f（x₁）与f（x₂）的关系，从而得出f（x）的单调性．

解答 解：（1）f（x）是奇函数；
∴$f（-x）=\frac{a{x}^{2}+1}{-bx+c}=-\frac{a{x}^{2}+1}{bx+c}$；
∴c=-c；
∴c=0；
∴$f（x）=\frac{a{x}^{2}+1}{bx}$，$f（1）=2，f（2）=\frac{5}{2}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a+1}{b}=2}\\{\frac{4a+1}{2b}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$；
∴a=1，b=1；
∴$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}$；
（2）$f（x）=\frac{{x}^{2}+1}{x}=x+\frac{1}{x}$；
设x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂则：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）$；
∵x₁，x₂∈（0，1），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜1，1$-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}＜0$；
∴$（{x}_{1}-{x}_{2}）（1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}）＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（0，1）上单调递减．

点评 考查奇函数的定义，已知函数求值的方法，以及根据单调性定义判断一个函数单调性的方法和过程，作差比较f（x₁），f（x₂）的方法，作差后，是分式的要通分，并且一般需提取公因式x₁-x₂．