Question

9．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x-ay=0，曲线C的一个焦点与抛物线y²=-8x的焦点重合，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． $\sqrt{10}$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程，结合题意可得$\frac{1}{a}$=$\frac{b}{a}$，解可得b值，再由抛物线的方程可得其焦点坐标，结合题意可得c的值，计算可得a的值，由双曲线离心率公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，则其渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又由一条渐近线方程为x-ay=0，即y=$\frac{1}{a}$x，
则有$\frac{1}{a}$=$\frac{b}{a}$，解可得b=1，
抛物线的方程为y²=-8x，其焦点坐标为（-2，0），
则双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的焦点坐标为（-2，0），
则有c²=a²+b²=4，即c=2，
又由b=1，则a=$\sqrt{4-1}$=$\sqrt{3}$，
则双曲线的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
故选：A．

点评 本题考查双曲线、抛物线的几何性质，关键是掌握双曲线、抛物线的几何性质，并利用其性质求出a、c的值．