Question

关于平面向量

a

，

b

，

c

．有下列三个命题：
①若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

．
②若

a

=（1，k），

b

=（-2，6），

a

∥

b

，则k=-3．
③非零向量

a

和

b

满足|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|，则

a

与

a

+

b

的夹角为60°．
其中真命题的个数有（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：取特殊向量

a

、

b

、

c

，计算数量积，可得①不正确；根据向量平行的坐标运算，得到②正确；设|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=λ，则可算出

a

•

b

=

1

2

λ²，

a

•（

a

+

b

）=λ²+

1

2

λ²=

3

2

λ²，|

a

+

b

|=

3

λ，利用向量夹角公式可得

a

与

a

+

b

的夹角为30°，得到③不正确．由此可得正确选项．

解答：解：对于①，取

a

=（1，0），

b

=（2，2），

c

=（2，-3），
则

a

•

b

=

a

•

c

=2，但是

b

≠

c

，故①不正确；
对于②，若

a

∥

b

，则1×6=k×（-2），解之得k=-3．故②正确；
对于③设|

a

|=|

b

|=|

a

-

b

|=λ，则|

a

-

b

|²=（

a

-

b

）²=λ²，可得

a

•

b

=

1

2

λ²，
∴

a

•（

a

+

b

）=λ²+

1

2

λ²=

3

2

λ²，|

a

+

b

|=

3

λ，
可得则

a

与

a

+

b

的夹角θ满足cosθ=

a •( a + b )

|a| | a + b |

=

3

2

，所以θ=30°，故③不正确．
综上所述，正确的只有②
故选B

点评：本题以命题真假的判断与应用为载体，考查了向量的数量积运算、向量平行的充要条件和向量模与夹角公式等知识，属于基础题．