Question

【题目】已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过椭圆C上一点P（2，1）作x轴的垂线，垂足为Q．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点Q的直线l交椭圆C于点A，B，且3+=，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）y=±（x﹣2）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，由题意得，，解出求出 、的值即可得出椭圆的方程；（Ⅱ）由题意得点，设直线方程为，将直线，代入椭圆方程得到，利用向量的坐标运算性质、一元二次方程的根与系数的关系列方程即可得出 的值，从而可求得直线方程．

试题解析：（Ⅰ）设椭圆C的方程为+=1（a＞b＞0），

由题意得=， +=1，a2=b2+c2．

解得a2=6，b2=c2=3，则椭圆C： ==1．

（Ⅱ）由题意得点Q（2，0），

设直线方程为x=ty+2（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），

则=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），

由3+=，得3y1+y2=0，

y1+y2=﹣2y1，y1y2=﹣3，得到=﹣（*）

将直线x=ty+2（t≠0），代入椭圆方程得到（2+t2）y2+4ty﹣2=0，

∴y1+y2=，y1y2=，代入（*）式，解得：t2=，

∴直线l的方程为：y=±（x﹣2）．

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和平面向量的线性运算，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.