Question

【题目】如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD， ．
（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；

（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵A1O⊥面ABCD，且BD面ABCD，∴A1O⊥BD；

又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A1O∩AC=O，

∴BD⊥面A1AC，且A1C面A1AC，故A1C⊥BD．

在正方形ABCD中，∵ ，∴AO=1，

在Rt△A1OA中，∵ ，∴A1O=1．

设B1D1的中点为E1，则四边形A1OCE1为正方形，∴A1C⊥E1O．

又BD面BB1D1D，且E10面BB1D1D，且BD∩E1O=O，

∴A1C⊥面BB1D1D；

（2）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，

则B（1，0，0），C（0，1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），

．

由（1）知，平面BB1D1D的一个法向量 ，

， ．

设平面OCB1的法向量为 ，

由 ，得 ，取z=﹣1，得x=1．

∴ ．

则 = ．

所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ为 ．

【解析】（1）要证明A1C⊥平面BB1D1D，只要证明A1C垂直于平面BB1D1D内的两条相交直线即可，由已知可证出A1C⊥BD，取B1D1的中点为E1 ， 通过证明四边形A1OCE1为正方形可证A1C⊥E1O．由线面垂直的判定定理问题得证．（2）以O为原点，分别以OB，OC，OA1所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB1与平面BB1D1D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．