Question

已知正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=a_n²+2a_n（n∈N₊），令b_n=log₂（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}为等比数列；
（2）记T_n为数列的前n项和，是否存在实数a，使得不等式对?n∈N₊恒成立？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵a_n+1=a_n²+2a_n，∴a_n+1+1=a_n²+2a_n+1，∴=2log₂（a_n+1），
∵b_n=log₂（a_n+1），∴=2，∴数列{b_n}为等比数列．
（2）∵数列{b_n}为等比数列，b₁=1，q=2，∴b_n=2^n-1，∴==-，
∴T_n=1-+-+…+-=1-＜1，∵不等式对?n∈N₊恒成立，
只要 ≥1=log_0.5^0.5 即可，即 ，即 ，
解得-≤a＜0，或 ＜a≤1，故a的取值范围 为[-，0）∪（，1]．
分析：（1）有条件可得 =2log₂（a_n+1），变形可得 =2，从而数列{b_n}为等比数列．
（2）求出数列的通项为 -，可得T_n =1-＜1，要使不等式对?n∈N₊恒成立，只要 ≥1 即可，即 ，
解不等式组求得a的取值范围．
点评：本题主要考查数列求和和的方法，等比关系的确定，以及函数的恒成立问题，寻找使不等式对?n∈N₊恒成立的条件，是解题的难点．