Question

20．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；
（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤$\frac{π}{2}$），f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$-（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|的最小值为-$\frac{3}{2}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在$\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{OB}$两边同减去$\overrightarrow{OA}$，进行向量的数乘运算便可得出$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$，这样便可得出三点A，B，C共线；
（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量$\overrightarrow{AB}$的坐标，从而得出f（x）=（cosx-m）²+1-m²，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得$\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
即$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{AC}∥\overrightarrow{AB}$，又∵$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$有公共点A；
∴A，B，C三点共线；
（Ⅱ）$\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$；
∴$C（1+\frac{2}{3}cosx，cosx）$；
∵$\overrightarrow{AB}=（cosx，0）$；
∴$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}-（2m+\frac{2}{3}）•|\overrightarrow{AB}|$
=$1+\frac{2}{3}cosx+co{s}^{2}x-（2m+\frac{2}{3}）cosx$
=（cosx-m）²+1-m²；
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]$，∴cosx∈[0，1]；
①当m＜0，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1（舍去）
②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1-m²，$m=±\frac{\sqrt{10}}{2}$（舍去）
③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m，2-2m=$-\frac{3}{2}$；
∴$m=\frac{7}{4}$
综上m=$\frac{7}{4}$．

点评 考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法．