Question

已知函数y=f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．若数列{a_n}满足a₁=f（0），且f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N*），则a₂₀₁₃的值为（　　）

• A、4026
• B、4025
• C、4024
• D、4023

Answer 1

考点：数列的概念及简单表示法,抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．令x=y=0，则f（0）f（0）=f（0），解得f（0）=0或1．令y=-x＞0，则f（x）f（-x）=f（0），利用当x＜0时，f（x）＞1，可知f（0）≠0，否则推出矛盾．于是f（x）f（-x）=1．由于f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），可得f（a_n+1）=f（2+a_n），再利用单调性即可得出，a_n+1=2+a_n，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答： 解：对任意的实数x，y∈R，等式f（x）f（y）=f（x+y）成立．
令x=y=0，则f（0）f（0）=f（0），解得f（0）=0或1．
令y=-x＞0，则f（x）f（-x）=f（0），
∵当x＜0时，f（x）＞1，∴f（0）≠0，否则推出矛盾．
例如取x=-2，y=1，则f（-2）f（1）=f（-1）＞0．
∴f（x）f（-x）=1．
∵当x＜0时，f（x）＞1，
∴当x＞0时，f（x）=

1

f(-x)

＞0，
令x₁＜x₂，
则f（x₁-x₂）=f（x₁）f（-x₂）=

f(x1)

f(x2)

＞1，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴y=f（x）为R上的减函数，
∵f（a_n+1）=

1

f(-2-an)

（n∈N^*），∴f（a_n+1）=f（2+a_n），
∴a_n+1=2+a_n，
∴数列{a_n}是等差数列，a₁=f（0）=1，公差d=2．
∴a₂₀₁₃=1+2（2013-1）=4025．
故选：B．

点评：本题考查了抽象函数的性质、等差数列的通项公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．