Question

设

n

k=3

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，设集合A_k={y|y=

kx+1

kx

，

1

k

≤x≤1，k=2，3，…，2015}，则

2015

k=2

A_k=（　　）

• A、∅
• B、[2，

  3 2

  2

  ]
• C、{2}
• D、[2，

  2016 2015

  2015

  ]

Answer 1

考点：并集及其运算

专题：探究型,函数的性质及应用,集合

分析：根据基本不等式和函数的单调性求出集合A_k，再由题意表示出

2015

k=2

A_k，利用并集的运算求出即可．

解答： 解：因为，

1

k

≤x≤1，k=2，3，…，2015，
所以

kx+1

kx

=

kx

+

1

kx

≥2

kx • 1 kx

=2，
当且仅当

kx

=

1

kx

时，即x=

1

k

时取等号，
所以函数y=

kx+1

kx

在[

1

k

，1]上的最小值是2，
由对号函数的单调性知，函数y=

kx+1

kx

在[

1

k

，1]上单调递增，
所以当x=1时取到最大值

k+1

k

=

(k+1) k

k

，即集合A_k=[2，

(k+1) k

k

]（k≥2），
因为

n

k=3

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A_n，n∈N^*，且A_k={2}，
所以

2015

k=2

A_k=A₁∪A₂∪A₃∪…A₂₀₁₅={2}∪[2，

3 2

2

]∪…∪[2，

2016 2015

2015

]
=[2，

2016 2015

2015

]，
故选：D．

点评：本题是探究型的题目，考查基本不等式和函数的单调性在求函数的最值中的应用，以及并集的运算．