Question

如图已知AB和AC是圆的两条弦．过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF=3，FB=1，CD=

4

3

，则线段EF的长等于

 

．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：由已知得△ACF∽△ABD，从而

AF

FB

=

AC

CD

，

CF

BD

=

AF

AB

=

3

4

，进而得到AC=4，由切割线定理得BD=

8

3

，从而CF=2，由相交弦定理得AF•FB=EF•CF，由此能求出EF．

解答： 解：∵过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，
∴△ACF∽△ABD，∴

AF

FB

=

AC

CD

，

CF

BD

=

AF

AB

=

3

4

，
∵AF=3，FB=1，CD=

4

3

，
∴AC=

AF×CD

FB

=

3× 4 3

1

=4，
∵过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D，
∴由切割线定理得BD2=CD•CA=

4

3

×(

4

3

+4)=

64

9

，∴BD=

8

3

，
∴CF=

3

4

BD=2，
由相交弦定理得AF•FB=EF•CF，
∴EF=

AF×FB

CF

=

3×1

2

=

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本试题主要考查了平面几何中直线与圆的位置关系，相交弦定理，切割线定理，相似三角形的概念、判定与性质．