Question

已知实数a，b，c成等差数列，点P（-3，0）在动直线ax+by+c=0（a，b不同时为零）上的射影点为M，若点N的坐标为（2，3），则线段MN长度的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：实数a，b，c成等差数列，可得2b=a+c，于是动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：ax+

a+c

2

y+c=0，即a（2x+y）+c（y+2）=0，利用直线系可得：动直线l过定点：Q（1，-2）．因此点M在以PQ为直径的圆上，利用中点坐标公式可得：圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r．则线段MN长度的最大值=|CN|+r．

解答： 解：∵实数a，b，c成等差数列，
∴2b=a+c，
∴动直线l：ax+by+c=0（a，b不同时为零）化为：ax+

a+c

2

y+c=0，变形为a（2x+y）+c（y+2）=0，
令

2x+y=0 y+2=0

，解得

x=1 y=-2

．
∴动直线l过定点：Q（1，-2）．
∴点M在以PQ为直径的圆上，
圆心为线段PQ的中点：C（-1，-1），半径r=

22+1

=

5

．
∴线段MN长度的最大值=|CN|+r=

32+42

+

5

=5+

5

．
故答案为：5+

5

．

点评：本题综合考查了直线系、等差数列的性质、圆的性质、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．