Question

已知3+sin2β+2t＞（2

2

+

2

t）sin（β+

π

4

）+

2 2

cos( π 4 -β)

对于β∈[0，

π

2

]恒成立，则t的取值范围是（　　）

• A、t＞4
• B、t＞3
• C、t＞2
• D、t≥-2

Answer 1

考点：三角函数的最值,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质,不等式的解法及应用

分析：设x=sinβ+cosβ，β∈[0，

π

2

]，得出sin2β=x²-1，sin（β+

π

4

）=cos（β-

π

4

）=

2

2

x，把原不等式化为x²-（t+2）x-

4

x

+2+2t＞0，
再利用分离参数法得t＞x+

2

x

，从而求出t的取值范围．

解答： 解：设x=sinβ+cosβ，β∈[0，

π

2

]，
∴x=

2

sin（β+

π

4

），
∵β∈[0，

π

2

]，
∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴x∈[1，

2

]；
又∵x²=1+sin2β，∴sin2β=x²-1，
∵x=

2

sin（β+

π

4

），∴sin（β+

π

4

）=cos（β-

π

4

）=

2

2

x，
∴不等式3+sin2β+2t＞（2

2

+

2

t）sin（β+

π

4

）+

2 2

cos( π 4 -β)

可化为3+（x²-1）+2t＞（2

2

+

2

t）•

2

2

x+

2 2

2 2 x

，即x²-（t+2）x-

4

x

+2+2t＞0，
∴（2-x）t＞2x-x²+

4-2x

x

=x（2-x）+（2-x）•

2

x

；
又∵x∈[1，

2

]，
∴2-x＞0，
∴t＞x+

2

x

，
令函数f（x）=x+

2

x

，
则函数f（x）在x∈[1，

2

]上是减函数，
∴f（x）在x∈[1，

2

]上的最大值为f（1）=3；
∴t的取值范围为（3，+∞）．
故选：B．

点评：本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，不等式的恒成立问题，是综合性题目．