Question

{a_n}前n项和为S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）求证{a_n}为等差数列，并求其通项公式；
（2）若存在二次函数f（x）=ax²（a≠0）使数列{

f(n)

anan+1

}的前n项和T_n=

2n2+2n

2n+1

，求f（x）．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1，可得Sn=nan-(n2-n)，当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-[（n-1）²-（n-1）]，利用a_n=S_n-S_n-1，化为a_n-a_n-1=2，即可证明．
（2）

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

，当n=1时，

f(1)

a1a2

=

a

3

=

2+2

3

，解得a=4．可得f（x）=4x²．验证即可．

解答： （1）证明：∵a_n=

Sn

n

+n-1，∴Sn=nan-(n2-n)，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-[（n-1）²-（n-1）]，
∴a_n=S_n-S_n-1=nan-(n2-n)-（n-1）a_n-1+[（n-1）²-（n-1）]，化为a_n-a_n-1=2，
因此{a_n}为等差数列，
其通项公式a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）解：

f(n)

anan+1

=

an2

(2n-1)(2n+1)

，
当n=1时，

f(1)

a1a2

=

a

3

=

2+2

3

，解得a=4．
∴f（x）=4x²．
∴

f(n)

anan+1

=

4n2

(2n-1)(2n+1)

=

4n2-1+1

(2n-1)(2n+1)

=1+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴数列{

f(n)

anan+1

}的前n项和T_n=n+

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=n+

1

2

(1-

1

2n+1

)
=n+

n

2n+1

=

2n2+2n

2n+1

．
满足已知条件，
∴f（x）=4x²．

点评：本题考查了递推式的应用、“裂项求和”、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．