Question

已知二次函数y=f（x）满足f（0）=3，f（x+1）-f（x）=4x．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）设y=ax²+bx+c（a≠0），由f（0）=3得，c=3． 因为f（x+1）-f（x）=4x，所以2ax+a+b=4x，由此能够求出f（x）．
（2）根据函数在[-1，1]上的单调性求出函数的最大值和最小值．

解答： 解：设y=ax²+bx+c（a≠0）
由f（0）=3得，c=3    
因为f（x+1）-f（x）=4x
所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=4x，
即2ax+a+b=4x，
所以

2a=4 a+b=0

解得a=2，b=-2，
所以y=2x²-2x+3，
（2）因为y=2x²-2x+3，对称轴x=

1

2

，
所以在[-1，

1

2

]单调递减，在（

1

2

，1]上单调递增，
所以当x=

1

2

时函数有最小值，最小值为

5

2

，
当x=-1时，函数有最大值，最大值为7，

点评：本题考查函数的解析式的求解及其常用方法，以及函数的单调性的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．