Question

如图，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是正三角形，AB=BC=2CD．
（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角E-AD-B的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取BE的中点F、AE的中点G，连接GD，GD，CF，由已知得CF⊥BF，CF⊥AB，从而DG⊥平面ABE，由此能证明平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）以B为原点，以过B垂直于平面ABCD的直线为x轴，BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ADE的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法求出二面角E-AD-B的余弦值，再由同角三角函数间的关系能求出二面角E-AD-B的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：取BE的中点F、AE的中点G，
连接GD，GD，CF，
∵AB⊥平面BCE，△BCE是正三角形，
∴CF⊥BF，CF⊥AB，
∴CF⊥平面ABE，
∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE
∵DG?平面ABE，
∴平面ABE⊥平面ADE．
（Ⅱ）解：以B为原点，以过B垂直于平面ABCD的直线为x轴，
BC为y轴，BA为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=BC=2CD=2，
则B（0，0，0），A（0，0，2），
D（0，2，1），E（

3

，1，0），

AE

=（

3

，1，-2），

AD

=（0，2，-1），
设平面ADE的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AD =2y-z=0 n • AE = 3 x+y-2z=0

，
取y=1，得

n

=（

3

，1，2），
又平面ABD的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角E-AD-B的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

m • n

| m |•| n |

|=

3

8

=

6

4

，
sinθ=

1-( 6 4 )2

=

10

4

，
tanθ=

sinθ

cosθ

=

6 4

10 4

=

15

5

，
∴二面角E-AD-B的正切值为

15

5

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．