Question

已知数列{a_n}满足a₁=-

7

6

，1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）当λ=

1

3

时，数列中是否在含有a₁在内的三项构成等差数列．若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*），当n≥2时，1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，利用递推式可得

an+1

an

=

1+λ

λ

．可得数列{a_n}从第二项开始是等比数列，即可得出．
（2）当λ=

1

3

时，当n≥2时，a_n=-

1

2

×4n-2，假设数列中存在在含有a₁在内的三项构成等差数列．分别为-

7

6

，-

1

2

×4n-2，-

1

2

×4m-2．可得-4^n-2=-

7

6

-

1

2

×4m-2，判断即可．

解答： 解：（1）∵1+a₁+a₂+…+a_n-λa_n+1=0（其中λ≠0且λ≠-1，n∈N^*），
当n≥2时，1+a₁+a₂+…+a_n-1-λa_n=0，
∴a_n-λa_n+1+λa_n=0，
∴

an+1

an

=

1+λ

λ

．
当n=1时，1+a₁-λa₂=0，可得a₂=-

1

6λ

，
∴

a2

a1

=

1

7λ

，
当n=2时，1+a₁+a₂-λa₃=0，∴1-

7

6

-

1

6λ

-λa₃=0，
∴a3=-

λ+1

6λ2

．
∴

a3

a2

=

λ+1

λ

．
∴数列{a_n}从第二项开始是等比数列，
∴当n≥2时，an=(-

1

6λ

)•(

λ+1

λ

)n-2，
∴an=

- 7 6 ，n=1 (- 1 6λ )•( λ+1 λ )n-2

．
（2）当λ=

1

3

时，当n≥2时，a_n=-

1

2

×4n-2，
当n=1时，a1=-

7

6

．
假设数列中存在在含有a₁在内的三项构成等差数列．
分别为-

7

6

，-

1

2

×4n-2，-

1

2

×4m-2．
则-4^n-2=-

7

6

-

1

2

×4m-2，
化为2×4ⁿ-4^m=

112

3

，
左边是整数，右边不是整数，因此不成立．
故假设不成立，即数列中不存在在含有a₁在内的三项构成等差数列．

点评：本题考查了递推式的应用、等差数列与等比数列的定义及其通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．