Question

在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为

x=4t2 y=4t

（其中t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C₂的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

．
（Ⅰ）把曲线C₁的方程化为普通方程，C₂的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线C₁，C₂相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C₂的垂线交曲线C₁于E，F两点，求|PE|•|PF|．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（I）曲线C₁的参数方程为

x=4t2 y=4t

（其中t为参数），消去参数即可得出．曲线C₂的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，展开为

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

2

，利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得出．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中点为P（x₀，y₀），联立抛物线与直线的方程可得x²-6x+1=0，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x0=

x1+x2

2

=3，y₀=2．进而点到线段AB的中垂线的参数方程为

x=3- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数），代入抛物线方程，利用参数的意义即可得出．

解答： 解：（I）曲线C₁的参数方程为

x=4t2 y=4t

（其中t为参数），消去参数可得y²=4x．
曲线C₂的极坐标方程为ρcos(θ+

π

4

)=

2

2

，展开为

2

2

(ρcosθ-ρsinθ)=

2

2

，化为x-y-1=0．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且中点为P（x₀，y₀），
联立

y2=4x x-y-1=0

，解得x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=1．
∴x0=

x1+x2

2

=3，y₀=2．
线段AB的中垂线的参数方程为

x=3- 2 2 t y=2+ 2 2 t

（t为参数），
代入y²=4x，可得t2+8

2

t-16=0，
∴t₁t₂=-16，
∴|PE|•|PF|=|t₁t₂|=16．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．