Question

如图，F₁、F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，以坐标原点O为圆心，|OF₁|为半径的圆与该双曲线左支交于A、B两点，若△F₂AB是等边三角形，则双曲线的离心率为 （　　）

• A、

  3

• B、2
• C、

  3

  -1
• D、1+

  3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：连结AF₁，根据圆的直径的性质和等边三角形的性质，证出△F₁AF₂是含有30°角的直角三角形，由此得到|F₁A|=c且|F₂A|=

3

c．再利用双曲线的定义，得到2a=|F₂A|-|F₁A|=（

3

-1）c，即可算出该双曲线的离心率．

解答： 解：连结AF₁，
∵F₁F₂是圆O的直径，
∴∠F₁AF₂=90°，即F₁A⊥AF₂，
又∵△F₂AB是等边三角形，F₁F₂⊥AB，
∴∠AF₂F₁=

1

2

∠AF₂B=30°，
因此，Rt△F₁AF₂中，|F₁F₂|=2c，|F₁A|=

1

2

|F₁F₂|=c，
|F₂A|=

3

2

|F₁F₂|=

3

c．
根据双曲线的定义，得2a=|F₂A|-|F₁A|=（

3

-1）c，
解得c=（

3

+1）a，
∴双曲线的离心率为e=

c

a

=

3

+1．
故选D．

点评：本题给出以双曲线焦距F₁F₂为直径的圆交双曲线于A、B两点，在△F₂AB是等边三角形的情况下求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的定义、标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．